题目

已知抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连 交抛物线于M，连 、 . （1） 求抛物线的解析式； （2） 如图1，当 时，求M点的横坐标； （3） 如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作 于D，若 ，求N点的坐标. 答案： 解：将点 A(−1,0) 和点 B(−5,0) 代入 y=ax2+bx−5 得 {a−b−5=025a−5b−5=0 ，解得： {a=−1b=−6 ∴y=−x2−6x−5 解：点A作 AE⊥AC 交CM的延长线于点E，过 E 作 EF⊥x 轴于 E, 如下图 ∵EF⊥x 轴， AE⊥AC ∴∠EFA=∠EAC=90° ∴∠FAE+∠OAC=90° 又 ∴∠ACO+∠OAC=90° ∴∠EAF=∠ACO ∴ΔAOC∽ΔEFA ∴ACEA=AOEF=COAF ∵tan∠ACM=2 即 AEAC=2 ∴ACEA=AOEF=COAF=12 当 x=0 时， y=−5 ∴C(0,−5) 即 OC=5 ∴EF=2,AF=10 即 E(−11,−2) ∴ 设直线CE的解析式为 y=kx+b(k≠0) ，并将C、E两点代入得 {−11k+b=−2b=−5 解得 {k=−311b=−5 ∴y=−311x−5 ∵ 点M是直线CE与抛物线交点 ∴{y=−311x−5y=−x2−6x−5 解得 x1=−6311,x2=0 （不合题意，舍去） ∴  点M的横坐标为 −6311 解：设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m 则 OH=−m ∴AH=−1−m ∵y=−x2−6x−5 ∴ 对称轴 x=−b2a=−3 ∴ P、Q、N的横坐标为 −3 ，即 OQ=3 ∴AQ=OQ−OA=2 ∴ 当 x=−3 时， y=−(−3)2−(−3)×6−5=4 ∴P(−3,4) ∴ 点D的纵坐标为4 ∴ MD=4−(−m2−6m−5)=m2+6m+9=(m+3)2 ∵ HM//NQ ∴ ΔAHM∽ΔAQN ∴AHAQ=HMQN 即 −1−m2=m2+6m+5QN ∴QN=−2m−10 ∴N(−3,2m+10) ∴MN2=(m−3)2+[−m2−6m−5−2m−10]2=3(m+3)2[(m+5)2+1] ∵MD=3MN ∴MD2=3MN2 ，即 (m+3)4=3(m+3)2[(m+5)2+1] ， ∵m+3=0,m=−3 不符合题意，舍去， 当 m+3≠0 时， ∴2m2+24m+69=0,   解得 m=−12±62 ， 由题意知 m=−12−62 ∴N(−3,−2−6)

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