题目

设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S2=12，且a1 ， a2+1，a3成等差数列． （1） 求数列{an}的通项公式； （2） 若bn=an•（n﹣λ），且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 答案： 解：设正项等比数列{an}的公比为q，由题意得0＜q＜1， ∵S2=12，且a1，a2+1，a3成等差数列，∴ {a1+a1q=122(a1q+1)=a1+a1q2 ，解得a1=8，q= 12 ，∴数列{an}的通项公式为an=8• (12)n−1 = (12)n−4 解：由（1）知，bn=an•（n﹣λ）= (12)n−4 •（n﹣λ）， 且数列{bn}是单调递减数列，∴bn＜bn﹣1，∴bn﹣bn﹣1=（n﹣λ）• (12)n−4 ﹣（n﹣1﹣λ）• (12)n−5 = (12)n−4 •（2+λ﹣n）＜0，（n≥2）；∵上式对任意正整数n都成立，∴实数λ的取值范围是λ＜0

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