题目

如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F. （1） 求证：∠ABC=2∠CAF； （2） 若AC= ，CE：EB=1：4，求CE，AF的长. 答案： 证明：如图，连接BD. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAB+∠ABD=90°. ∵AF是⊙O的切线， ∴∠FAB=90°， 即∠DAB+∠CAF=90°. ∴∠CAF=∠ABD. ∵BA=BC，∠ADB=90°， ∴∠ABC=2∠ABD. ∴∠ABC=2∠CAF. 解：如图，连接AE. ∴∠AEB=90°.设CE=x，∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x.在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2. 即（2 10 ）2=x2+（3x）2 . ∴x=2. ∴CE=2， ∴EB=8，BA=BC=10，AE=6. ∵tan∠ABF= AEEB=AFBA . ∴ 68=AF10 . ∴AF= 152 .

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