题目

设函数 . （1） 若 在点 处的切线为 ，求 的值； （2） 求 的单调区间； （3） 若 ，求证：在 时， . 答案： 解：∵ f(x)=ax−2−lnx(a∈R) ，∴ f′(x)=a−1x=ax−1x ， 又 f(x) 在点 (e,f(e)) 的切线的斜率为 1e ，∴ f′(e)=ae−1e=1e ，∴ a=2e ， ∴切点为 (e,−1) 把切点代入切线方程得： b=−2e 解：由（1）知： f′(x)=a−1x=ax−1x(x>0) ①当 a≤0 时， f′(x)<0 在 (0,+∞) 上恒成立， ∴ f(x) 在 (0,+∞) 上是单调减函数， ②当 a>0 时，令 f′(x)=0 ，解得： x=1a ，当 x 变化时， f′(x),f(x) 随 x 变化情况如下表：当 x∈(0,1a) 时， f′(x)<0,f(x) 单调减，当 x∈(1a,+∞) 时， f′(x)>0 ，单 f(x) 单调增，综上所述：当 a≤0 时， f(x) 的单调减区间为 (0,+∞) ；当 a>0 时， f(x) 的单调减区间为 (0,1a) ，单调增区间为 (1a,+∞) 解：当 x>0 时，要证 f(x)−ax+ex>0 ，即证 ex−lnx−2>0 ，令 h(x)=ex−lnx−2(x>0) ，只需证 h(x)>0 ，∵ h′(x)=ex−1x 由指数函数及幂函数的性质知： h′(x)=ex−1x 在 (0,+∞) 上是增函数又 h′(1)=e−1>0 ， h′(13)=e13−3<0 ，∴ h′(1)<h′(13)<0 ， h′(x) 在 (13,1) 内存在唯一的零点，也即 h′(x) 在 (0,+∞) 上有唯一零点设 h′(x) 的零点为 t ，则 h′(t)=e′−1t=0 ，即 e′=1t(13<t<1) ，由 h′(x) 的单调性知：当 x∈(0,t) 时， h′(x)<h′(t)=0 ， h(x) 为减函数当 x∈(t,+∞) 时， h′(x)>h′(t)=0 ， h(x) 为增函数，所以当 x>0 时， h(x)≥h(t)=e′−lnt−2=1t−ln1e′−2 ，又 13<t<1 ，等号不成立，∴ h(x)>0=1t+t−2≥2−2=0

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