题目

已知数列 的前 项和为 ，且 ， （ ）. （1） 计算 ， ， ， ，并求数列 的通项公式； （2） 若数列 满足 ，求证：数列 是等比数列； （3） 由数列 的项组成一个新数列 ： ， ， ， ， ，设 为数列 的前 项和，试求 的值. 答案： 解：当 n=1 时，由 2S1+1=a1 ，得 a1=−1 ； 由 S2=a+1a2=0 ，得 a2=1 ； 当 n=3 时，由 2S3+3=2a3+3=3a3 ，得 a3=3 ； 当 n=4 时，由 2S4+4=2a4+10=4a4 ，得 a4=5 ； 猜想： an=2n−3(n∈N∗) ． 下面用数学归纳法证明： ①当 n=2 时， a2=1 ，结论显然成立； ②假设当 n=k≥2 时， ak=2k−3 ， 由条件知 2Sn=nan−n ， 故 2ak+1=2Sk+1−2Sk ＝ [(k+1)ak+1−k+1]−(kak−k) ＝ (k+1)ak+1−kak−1 ， 于是 (k−1)ak+1=kak+1=k(2k−3)+1=(k−1)(2k−1) ， 从而 ak+1=2(k+1)−3 ， 故数列 {an} 的通项公式为： an=2n−3(n∈N∗) 证明：当 n=1 时， b1=2a1+3=1 ，当 n≥2 时，由条件得 (2n−1)bn ＝ [b1+3b2+5b3+⋅⋅⋅+(2n−1)bn] − [b1+3b2+5b3+⋅⋅⋅+(2n−3)bn−1] =(2n⋅an+3)−(2n−1⋅an−1+3) =2n(2n−3)−2n−1(2n−5) =2n−1(2n−1) 从而 bn=2n−1 ， 故数列 {bn} 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列 解：由题意，得 cn=a2n−1+a2n−1+1+a2n−1+2+⋅⋅⋅+a2n−1 =(2·2n−1−3)+(2·2n−1−1)+(2·2n−1+1)+⋯+(2·2n−7)+(2·2n−5)   =2n−1·[(2·2n−1−3)+(2·2n−5)]2=34·4n−2n+1 故 Tn=34(4+42+43+⋯+4n)−(22+23+⋯+2n+1) =34·4(4n−1)4−1−22(2n−1)2−1 =4n−4·2n+3 ， 从而 limn→∞Tn4n=limn→∞[1−4(12)n+3(14)n]=1

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