题目

已知数列 的前 项和是 ，且 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 设 ， ，求 的取值范围. 答案： 解：当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1，得a1= 12 ， 当n≥2时， Sn−1+an−1=1 ∴ 当n≥2时， Sn−Sn−1+an−an−1=0 ∴2an=an−1 又 an≠0 ∴n≥2 时， anan−1=12 所以 {an} 是以 12 为首项， 12 为公比的等比数列， ∴an=12×(12)n−1=(12)n(n∈N+) 解：由（1）知： Sn=12×[1−(12)n]1−12=1−(12)n ∴bn=−n ∴ 1bnbn+1=1(−n)[−(n+1)]=1n(n+1)=1n−1n+1 ∴Tn= 1b1b2 + 1b2b3 +…+ 1bnbn+1 = (11−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1) = 1−1n+1 因为当 n 增大时， Tn 也在增大，且 n∈N* ，所以当 n=1 时， Tn 取最小值 12 ， 所以 12≤Tn<1

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