题目

如图，在三棱柱 中， 平面 ， 为 的中点， 交 于点 ， ， . （1） 证明： 平面 ； （2） 若 ，求二面角 的余弦值. 答案： 证明：因为 ABC−A1B1C1 为三棱柱，所以平面 A1B1C1// 平面 ABC ， 因为 CC1⊥ 平面 A1B1C1 ，所以 CC1⊥ 平面 ABC .又因为 AC⊂ 平面 ABC ，所以 AC⊥CC1 . 又因为 AC⊥BC ， CC1∩BC=C ， CC1、BC⊂ 平面 BB1C1C ，所以 AC⊥ 平面 BB1C1C . 由题知：四边形 BB1C1C 为矩形，又因 B1C 交 BC1 于点 E ，所以 E 为 B1C 的中点， 又因为 D 为 AB1 的中点，所以 DE 为 △AB1C 的中位线，所以 DE//AC .所以 DE⊥ 平面 BB1C1C . 解：由（1）知： C1A1、C1B1、C1C 两两互相垂直，所以以 C1 为坐标原点，分别以 C1A1、C1B1、C1C 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 C1−xyz ，如图所示： 设 CC1=h(h>0) ，则 C1(0,0,0),A1(2,0,0),B1(0,2,0),A(2,0,h),B(0,2,h),C(0,0,h) ， 所以 C1B→=(0,2,h) ， AB1→=(−2,2,−h) ，因为 C1B⊥AB1 ，所以 C1B→⋅AB1→=0 ， 所以 0×(−2)+2×2+h×(−h)=0 ，解得 h=2 .所以 A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2) ， 所以 AB1→=(−2,2,−2),AC→=(−2,0,0) ， A1B1→=(−2,2,0),A1C→=(−2,0,2) . 设平面 AB1C 的法向量为 n→=(x,y,z) ，则 {n→⋅AB1→=0n→⋅AC→=0 ，所以 {−2x+2y−2z=0−2x=0 ， 不妨令 y=1 ，则 n→=(0,1,1) . 设平面 A1B1C 的法向量为 m→=(x,y,z) ，则 {m→⋅A1B1→=0n→⋅A1C→=0 ，所以 {−2x+2y=0−2x+2z=0 ， 不妨令 y=1 ，则 m→=(1,1,1) .所以 cos〈m→⋅n→〉=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=22×3=63 , 因为平面 A1B1C 与平面 AB1C 所成的角为锐角，所以二面角 A−B1C−A1 的余弦值为 63 .

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