题目

在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ． （Ⅰ）求角 ； （Ⅱ）若 ，点 为线段 的中点， ，求 ， ． 答案：解：（Ⅰ）解法一： 由 (2a+b)cosC+c⋅cosB=0 得 (2sinA+sinB)cosC+sinC⋅cosB=0 ， 所以 2sinAcosC+sinBcosC+sinC⋅cosB=0 ， 所以 2sinAcosC+sin(B+C)=0 ， 即 2sinAcosC+sinA=0 消去 sinA 得 cosC=−12 ， 所以 C=2π3 ． 解法二： 由余弦定理得 (2a+b)a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac=0 ， 整理得 a2+b2−c2b+a=0 ，所以 a2+b2−c2=−ab ， 即 cosC=a2+b2−c22ab=−12 ，所以 C=2π3 ． （Ⅱ）解法一： 由正弦定理，在 △BCD中 ， sin∠BDC=ac2=2ac ， 在 △ACD 中， bsin∠ADC=c2sinπ6=c ，得 sin∠ADC=bc ． 又 sin∠ADC=sin∠BDC ，所以 2ac=bc ，即 2a=b ． 又 a+b=5 ，解得 a=53 ， b=103 ． 解法二： 因为 ∠ACD=30° ，所以 ∠BCD=90° ， CD→⋅CB→=CA→+CB→2⋅CB→=2a2−ab4=0 ，所以 b=2a ， 又 a+b=5 ，所以 a=53 ， b=103

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