题目

已知如图，四边形ABCD ， BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC ， 若∠BAD＝α，∠BCD＝β （1） 如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2） 如图1，若BE与DF相交于点G ， ∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式； （3） 如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 答案： 解：在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°， ∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β）， ∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180° ∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β， ∵α+β＝150°， ∴∠MBC+∠NDC＝150°， 解：β﹣α＝90° 理由：如图1，连接BD， 由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC， ∴∠CBG＝ 12 ∠MBC，∠CDG＝ 12 ∠NDC， ∴∠CBG+∠CDG＝ 12 ∠MBC+ 12 ∠NDC＝ 12 （∠MBC+∠NDC）＝ 12 （α+β）， 在△BCD中，在△BCD中，∠BDC+∠DBC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β， 在△BDG中，∠BGD＝45°， ∴∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°， ∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°， ∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD＝180°， ∴ 12 （α+β）+180°﹣β+45°＝180°， ∴β﹣α＝90°， 解：平行， 理由：如图2，延长BC交DF于H， 由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC， ∴∠CBE＝ 12 ∠MBC，∠CDH＝ 12 ∠NDC， ∴∠CBE+∠CDH＝ 12 ∠MBC+ 12 ∠NDC＝ 12 （∠MBC+∠NDC）＝ 12 （α+β）， ∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB， ∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB， ∴∠CBE+β﹣∠DHB＝ 12 （α+β）， ∵α＝β， ∴∠CBE+β﹣∠DHB＝ 12 （β+β）＝β， ∴∠CBE＝∠DHB， ∴BE∥DF．

查看本题答案和解析