题目

已知函数 ， ． （1） 判断 的单调性，并证明之； （2） 若存在实数 ， ，使得函数 在区间 上的值域为 ，求实数 的取值范围． 答案： 解：由 1−x2≥0 ，得 −1≤x≤1 ，所以 f(x) 的定义域为 [−1,1] ， f(x) 在区间 [−1,0] 上为增函数，在区间 [0,1] 上为减函数， 证明如下： 任取 0≤x1<x2≤1 ，则 f(x1)−f(x2)=(1−x12+t)−(1−x22+t) =(1−x12+t)−(1−x22+t)=1−x12−1−x22=x22−x121−x12+1−x22=(x2−x1)(x2−x1)1−x12+1−x22 ∵ 0≤x1<x2≤1 ， ∴ x22−x12>0,1−x12>0,1−x22>0 ，即 f(x1)−f(x2)>0 故 f(x1)>f(x2) ，所以 f(x) 在区间 [0,1] 上为减函数， 同理可证， f(x) 在区间 [−1,0] 上为增函数. 综上所述： f(x) 在区间 [−1,0] 上为增函数，在区间 [0,1] 上为减函数. 解：由（1）知 f(x) 为偶函数，且在区间 [−1,0] 上为增函数， 若存在 −1≤a<b≤0 ，使得函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的值域为 [a2,b2] ，即 {f(a)=a2f(b)=b2 ， 则方程 1−x2+t=x2 ，即 x2+x+t−1=0 在区间 [−1,0] 上有两个不同的根， 设 g(x)=x2+x+t−1=(x+12)2+t−54 ，必有 {g(−12)<0g(−1)=g(0)≥0 ，解得 1≤t<54 ， 因 f(x) 为偶函数，则在区间 [0,1] 上存在实数 a ， b (a<b) ，使得函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的值域为 [a2,b2] ，则有 1≤t<54 ， 若存在 −1≤a<0<b≤1 ，使得函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的值域为 [a2,b2] ， 则有 f(0)=b2 ， f(a)=a2 或 f(b)=a2 ， 所以 t+1=b2 ，则 t<0 ， 若 f(a)=a2 或 f(b)=a2 ，则 1−a2+t=a2 或 1−b2+t=a2 ， 即方程 x2+x+t−1=0 有两个根 a ， b ，其中 −1≤a<0<b≤1 ， 因 x2+x+t−1=(x+12)2+t−54 ，其对称轴为 x=−12 ，故不存在实数 a ， b 满足题意， 综上所述：实数 t 的取值范围为 [1,54) .

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