题目

如图，在半径为 ，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ． （1） 将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域； （2） 求矩形PNMQ的面积取得最大值时 • 的值； （3） 求矩形PNMQ的面积y≥ 的概率． 答案： 解：在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ， PO=3 ， 所以 PN=3sinθ ， ON=3cosθ ，在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=PN= 3sinθ 所以OM= QMtan∠QON=3sinθtan60∘=sinθ 所以：MN=ON﹣OM= 3cosθ−sinθ 所以y= PN⋅NM=3sinθ(3cosθ−sinθ) 即：y=3sinθcosθ﹣ 3 sin2θ，（ 0＜θ＜π3 ） 解：由（1）得y=3sinθcosθ﹣ 3 sin2θ= 32sin2θ ﹣ 3⋅1−cos2θ2 = 3(sin2θcosπ6+cos2θsinπ6) ）﹣ 32 = 3sin(2θ+π6)−32 ∵θ∈（0， π3 ）∴ 2θ+π6∈(π6,5π6) ∴sin（ 2θ+π6 ）∈ (12,1] ∴ 2θ+π6=π2 ，即 θ=π6 时，y的最大值为 32 ．此时ON= 3 cos π6 = 3×32 = 32 ，则 OP→ • ON→ =| OP→ |•| ON→ |cos π6 = 32 × 3×32 = 94 ． 解：若矩形PNMQ的面积y≥ 6−32 ， 则 3sin(2θ+π6)−32 ≥ 6−32 ，即 3 sin（ 2θ+π6 ）≥ 62 ，则sin（ 2θ+π6 ）≥ 22 ，∵ 2θ+π6∈(π6,5π6) ∴ π4 ≤ 2θ+π6 ≤ 3π4 ，即 π24 ≤θ≤ 7π24 ，则对应的概率P= 7π24−π245π6−π6 = 38

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