题目

如图所示为某弹射游戏装置图。水平枪管中弹簧被弹射杆P用线拉着，处于压缩状态，质量为m的小钢球紧靠弹簧，枪口上边缘与半圆形光滑竖直轨道最高点A的内侧对齐。水平轨道BC在B、C两点分别与半圆轨道内侧和倾角θ=45°的倾斜轨道平滑连接。扣动扳机，弹射杆P立即松开弹簧，钢球射出经轨道到达斜面上最高点D后又恰好能回到A点进入枪内，挤压弹簧后再次被弹出。已知半圆轨道半径为R，BC长s=2R，球与斜面CD、水平面BC的动摩擦因数均为μ= 0.25，重力加速度为g，小球受到的摩擦力视为滑动摩擦力。求： （1） 小球第二次经过B点时的速度大小vB； （2） 弹簧储存的最大弹性势能EP； （3） 通过计算说明小球能否脱离轨道。 答案： 解：由题意，小球恰能返回A点，所以在A点mg=mvA2R得vA=gR·设第二次经过B点的速度大小为vB，则12mvB2=12mvA2+mg×2R代入数据得vB=5gR 解：从D到B由动能定理得mgh−μmgcosθ×hsinθ−μmgs=12mvB2代入数据得h=4R从发射到第一次回到A点，由功能关系可得Ep=2μmg(htanθ+s)+12mvA2代入数据得EP=3.5mgR 解：由机械能守恒定律知：第三次经B点与第二次经B点动能相同，设：第三次经B点能到达的最大高度为h′，由动能定理得−mgh'−μmg(h'tanθ+s)=0−12mvB2代入数据得h'=1.6R设第四次经B点后能达半圆轨道的最大高度为hm，则从h′到hm由动能定理得mgh'−μmg(h'tanθ+s)−mghm=0−0代入数据得hm=0.7R因为0.7R<R所以不会脱离轨道

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