题目

设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 . （1） 求 的通项公式. （2） 设 ，数列 的前 项和为 ，求使不等式 成立的最小的正整数 . （3） 设 .若数列 单调递增. ①求 的取值范围. ②若 是符合条件的最小正整数，那么 中是否存在三项 依次成等差数列?若存在，给出 的值.若不存在，说明理由. 答案： 解：设 {an} 的公差为 d ，因为 S5−3a4=4 故： 5a1+10d−3(a1+3d)=4 ， 又 a1=1 ，解得： d=2 ，故该数列通项公式为： an=2n−1 解：由 an=2n−1 ，可得： an+1=2n+1 ， SnSn+1=n2(n+1)2 ， 故 bn=an+1SnSn+1 = 2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2 则 Tn=b1+b2+b3+⋯+bn = (11−122)+(122−132)+⋯+(1n2−1(n+1)2) = 1−1(n+1)2 = n(n+2)(n+1)2 |T1T2T3⋯Tm−12|=|1×322×2×432×3×542×⋯×m(m+2)(m+1)2−12| = |(m+2)2(m+1)−12| = 1|2m+2| 若使得其满足 1|2m+2|<12019 ，且 m 为正整数，故解得： m>1008.5 ，故取 m=1009 使得不等式成立. 解：由（1）可知 cn=(an−t)⋅2an = (2n−t−1)22n−1 ①因为数列为增数列，故 cn−cn−1>0 恒成立 (n≥2) 等价于： (2n−t−1)⋅22n−1−(2n−t−3)⋅22n−3>0 整理得： 22n−3(6n−3t−1)>0 ， 即： t<2n−13(n≥2) 恒成立，又 (2n−13)min=113 ， 故 t<(2n−13)min=113 ，即 t∈(−∞,113) . ②由①可知，此时 t=1 , 故 cn=(n−1)⋅4n , 假设存在三项 ci，cj，ck(i<j<k) 依次成等差数列，则 ci+ck=2cj ，即： (i−1)⋅4i+(k−1)⋅4k=2(j−1)⋅4j   ① 因为 j<k ，且 j,k 均为整数，故： j≤k−1 ， j−1≤k−2 ， 4j≤4k−1 故： 2(j−1)⋅4j≤2(k−2)⋅4k−1=(12k−1)⋅4k<(k−1)⋅4k ，即 2(j−1)⋅4j<(k−1)⋅4k ② 又因为 0≤(i−1)⋅4i ③ 由②③可得： 2(j−1)⋅4j<(k−1)⋅4k+(i−1)⋅4i ，与①矛盾， 故假设不成立，即不存在三项 ci，cj，ck(i<j<k) 依次成等差数列.

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