题目

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AB的中点.点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿CB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒. （1） 设点Q到边AC的距离为h，直接用含t的代数式表示h； （2） 当点E落在AC边上时，求t的值； （3） 当点Q在边AB上时，设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式； （4） 连接CD，直接写出CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值. 答案： 解：当0＜t≤ 32 时，h＝2t. 当 32 ＜t≤4时，h＝3﹣ 35 （2t﹣3）＝ −65t+165 解：当点E落在AC边上时，DQ∥AC，∵AD＝DB，∴CQ＝QB，∴2t＝ 32 ，∴t＝ 34 解：①如图1中，当0≤t＜ 114 时，作PH⊥AB于H，则PH＝PA•sinA＝ 35t,DQ=112 ﹣2t， ∴S＝ 35t⋅(112−2t)=−65t2+3310t . ②如图2中，当 114 ＜t≤4时，同法可得 S=35t⋅(2t−112)=65t2−3310t . 解：当点E落在直线CD上时，CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等.有两种情形： ①当点E在CD上，且点Q在CB上时 （如图3所示）， 过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H， 易证Rt△PGE≌Rt△DHQ， ∴PG＝DH＝2， ∴CG＝2﹣t，GE＝HQ＝CQ﹣CH＝2t﹣ 32 ， ∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC ∴在Rt△CEG中，tan∠ECG＝ GECG=2t−322−t=34 ， ∴t＝ 1211 . ②当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图4所示），过点E作EF⊥CA于点F， ∵CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD. ∵PE∥AD，∴∠CPE＝∠CAD＝∠ACD，∴PE＝CE， ∴PF＝ 12 PC＝ 4−t2 ，PE＝DQ＝ 112 ﹣2t， ∴在Rt△PEF中，cos∠EPF＝ PFPE=4−t2112−2t=45 ， ∴t＝ 2411 综上所述，满足要求的t的值为 1211 或 2411 .

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