题目

如图1：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC内部作∠MAN=45°．AM、AN分别交BC于点M，N． （1） 将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到ACQ，请在图1中画出△ACQ；（不写出画法） （2） 在（1）中作图的基础上，连接NQ，①求证“MN=NQ”；②写出线段BM，MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由． （3） 线段GS，ST和TH之间满足的数量关系是 （4） 设DK=a，DE=b，求DP的值．（用a，b表示） 答案： 解：如图，△ACQ即为所求 解：①证明：由旋转可得，△ABM≌△ACQ∴AM=AQ，∠BAM=∠CAQ∵∠MAN=45°，∠BAC=90°∴∠BAM+∠NAC=45°∴∠CAQ+∠NAC=45°，即∠NAQ=45°在△MAN和△QAN中{AM=AQ∠MAN=∠QANAN=AN∴△MAN≌△QAN（SAS）∴MN=NQ②MN2=BM2+NC2由①中可知，MN=NQ，MB=CQ又∠NCQ=∠NCA+ACQ=∠NCA+∠ABM=45°+45°=90°在Rt△NCQ中，NQ2=CQ2+NC2，即MN2=BM2+NC2 【1】ST2=GS2+TH2 解：如图，∵DE=DF，DG=DP，∠EDF=∠GDP=45°∴∠DPK=∠DEP又∵∠PDK=∠EDP∴△DPK∽△DEP∴ DPDE=DKDP ，即DP2=DK•DE∵DK=a，DE=b∴DP= ab

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