题目

已知直线l过点 ，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． （1） 若 的面积为 ，求直线l的方程； （2） 求 的面积的最小值． 答案： 解：法一：（1）设直线 l：xa+yb=1(a，b>0) ，则 {1a+2b=112ab=254 解得 {a=5b=52 或 {a=54b=10 ，所以直线 l：x+2y−5=0 或 8x+y−10=0 ． 法二：设直线 l：y−2=k(x−1) ， k<0 ，则 A(1−2k，0) ， B(0，2−k) ． 则 S=12(1−2k)(2−k)=254⇒2k2+17k+8=0 ，∴ k=−12 或﹣8 所以直线 l：x+2y−5=0 或 8x+y−10=0 ． 解：法一：∵ 1=1a+2b≥21a⋅2b ，∴ ab≥8 ，∴ S=12ab≥4 ，此时 a=2 ， b=4 ． ∴ △ABC 面积的最小值为4，此时直线 l：2x+y=4 ． 法二：∵ k<0 ， ∴ S=12(1−2k)(2−k)=12[4+(−k)+(−4k)]≥12[4+2(−k)⋅(−4k)]=4 ， 此时 k=−2 ，∴ △ABC 面积的最小值为4，此时直线 l：2x+y=4 ．

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