题目

已知函数 . （1） 若对任意 ，都有 成立，求实数m的取值范围； （2） 设函数 ，求 在区间 内的所有零点之和. 答案： 解：因为 f(x)=sin2xcosπ3+cos2xsinπ3 ∴f(x)=sin(2x+π3) ， 所以 f(x−π4)=sin[2(x−π4)+π3]=sin(2x−π6) . 又 x∈[π6,π3] ，所以 2x−π6∈[π6,π2] ， 故 sin(2x−π6)∈[12,1] ，即 f(x−π4)min=12 ， m⩽12 ， 所以实数m的取值范围为 (−∞,12] 解：由（1）得 g(x)=2f(12x−π6)+32=2sin[2(12x−π6)+π3]+32=2sinx+32 ， 令 g(x)=0 ，得 sinx=−34 ，由正弦函数图象可知， sinx=−34 在 [−π,3π] 上有4个零点 这4个零点从小到大不妨设为 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，则由对称性得 x1+x22=−π2 ， x3+x42=3π2 ， 从而所有零点和为 x1+x2+x3+x4=2π .

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