题目

如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧 的中点，连结AD并延长，与过C点的直线交于P ， OD与BC相交于点E ． （1） 求证：OE＝ AC； （2） 连接CD ， 若∠PCD＝∠PAC ， 试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由． （3） 在（2）的条件下，当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长． 答案： 证明：∵AB为直径 ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， 又∵D为 BC⌢ 中点， ∴OD⊥BC，OD∥AC， 又∵O为AB中点， ∴OE＝ 12 AC； 解：PC为⊙O的切线， 理由：连接CO，DC， ∵CO＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠BCD＝∠BAD，∠PCD＝∠PAC， ∴∠OCB+∠BCD+∠PCD ＝∠OBC+∠BAD+∠PAC， ∴∠OCP＝∠OBC+∠BAC， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠OBC+∠BAC＝90°， ∴∠OCP＝90°， 即PC为⊙O的切线； 解： ∵∠ACB=90°,AB=10,AC=6, ∴BC=102−62=8.   由（1）可知， OE＝ 12AC= 3，BE＝ 12BC= 4，DE＝ OD−OE= 2， 在Rt△BED和Rt△ABD中， 由勾股定理得：BD＝ DE2+BE2= 2 5 ， AD＝ AB2−BD2= 4 5 ， ∵点D是劣弧 BC⌢ 的中点， ∴CD＝ BD= 2 5 ， ∵∠P是△PCD和△PAC的公共角， 由∠PCD＝∠PAC， 则△PCD∽△PAC， ∴ CDAC=PDPC=PCPA, ， ∴PC2＝PD•AP， 即 256=PDPC ， ∴PC＝ 355PD ， ∴ (355PD)2=PD(45+PD) ， 解得：PD＝ 55 ， ∴PC＝ 355×55=15.

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