题目

如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形， ， 分别为 ， 的中点． （1） 求证：平面 平面 ； （2） 求证： 平面 ． 答案： 因为底面 A1B1C1D1 为菱形，所以 B1D1⊥A1C1 ． 因为四棱柱为直四棱柱，所以 AA1⊥ 平面 A1B1C1D1 ． 因为 B1D1⊂ 平面 A1B1C1D1 ， 所以 AA1⊥B1D1 ． 因为 A1C1∩AA1=A1 ， A1C1，AA1⊂ 平面 AA1C1C ． 所以 B1D1⊥ 平面 AA1C1C ． 因为 B1D1⊂ 平面 B1D1M ， 所以平面 B1D1M⊥ 平面 AA1C1C ． 设 B1D1 交 A1C1 于点 E ，连接 AE ， NE ． 因为底面 A1B1C1D1 为菱形， 所以 E 为 A1C1 中点． 因为 N 为 C1D1 中点， 所以 EN//A1D1 ， 2EN=A1D1 ． 又因为 M 为 AD 的中点， AD//A1D1 ， AD=A1D1 ， 所以 AM//A1D1 ， 2AM=A1D1 ， 所以 EN//AM ， EN=AM ， 所以四边形 AMNE 为平行四边形，所以 MN//AE ． 因为 AE⊂ 平面 AA1C1C ， MN⊄ 平面 AA1C1C ， 所以 MN// 平面 AA1C1C ．

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