题目

2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛 ， 若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中 ． （1） 若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？ （2） 为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围． 答案： 解：第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：P1=13×p+23×p×13=59p；第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：P2=13×p+(1−p)×13×p=−13p2+23p，因为13<p<12，所以P1−P2=13p2−19p=13p(p−13)>0，所以P1>P2.所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛. 解：由已知X=4.5万元或X=3.6万元.由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时，业余队获胜的概率为P1=59p，专业队获胜的概率为P3=23×(1−p)+13×(1−p)×23=89−89p，所以，非平局的概率为P(X=4.5)=P1+P3=89−13p，平局的概率为P(X=3.6)=1−P1−P3=19+13p.X的分布列为：X4.53.6P(X)89−13p19+13pX的数学期望为E(x)=4.5×(89−13p)+3.6×(19+13p)=4.4−0.3p（万元）而13<p<12，所以E(x)的取值范围为：(4.25，4.3)（单位：万元）.

查看本题答案和解析