题目

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC． （1） 求证：四边形ABFC是菱形； （2） 若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积． 答案： 证明：∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∴AE⊥BC， ∵AB=AC， ∴BE=CE， ∵AE=EF， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AC=AB， ∴四边形ABFC是菱形． 解：设CD=x．连接BD． ∵AB是直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， ∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2， ∴（7+x）2﹣72=42﹣x2， 解得x=1或﹣8（舍弃） ∴AC=8，BD= 82−72 = 15 ， ∴S菱形ABFC=8 15 ． ∴S半圆= 12 •π•42=8π．

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