题目

已知函数 ． （1） 讨论函数 的单调性； （2） 当 时，求函数 在 上的零点个数． 答案： f(x)=ex−ax−ln2 ,其定义域为 R , f′(x)=ex−a , ①当 a≤0 时,因为 f′(x)>0 ,所以 f(x) 在 R 上单调递增, ②当 a>0 时,令 f′(x)>0 得 x>lna ,令 f′(x)<0 得 x<lna , 所以 f(x) 在 (−∞,lna) 上单调递减, (lna,+∞) 上单调递增, 综上所述, 当 a≤0 时, f(x) 在 R 上单调递增, 当 a>0 时, f(x) 在 (−∞,lna) 单调递减, (lna,+∞) 单调递增. 方法一:由已知得 g(x)=ex−2x−cosx , x∈(−π2,+∞) ,则 g′(x)=ex+sinx−2 . ①当 x∈(−π2,0) 时,因为 g′(x)=(ex−1)+(sinx−1)<0 ,所以 g(x) 在 (−π2,0) 单调递减, 所以 g(x)>g(0)=0 ,所以 g(x) 在 (−π2,0) 上无零点; ②当 x∈[0,π2] 时,因为 g′(x) 单调递增,且 g′(0)=−1<0 , g′(π2)=eπ2−1>0 , 所以存在 x0∈(0,π2) ,使 g′(x0)=0 , 当 x∈(0,x0) 时, g′(x)<0 ,当 x∈(x0,π2) 时, g′(x)>0 , 所以 g(x) 在 [0,x0) 递减, (x0,π2] 递增,且 g(0)=0 ,所以 g(x0)<0 , 又因为 g(π2)=eπ2−π>0 , 所以 g(x0)⋅g(π2)<0 ,所以 g(x) 在 (x0,π2) 上存在一个零点, 所以 g(x) 在 [0,π2] 上有两个零点; ③当 x∈(π2,+∞) 时, g′(x)=ex+sinx−2>eπ2−3>0 ,所以 g(x) 在 (π2,+∞) 单调递增, 因为 g(π2)>0 ,所以 g(x) 在 (π2,+∞) 上无零点; 综上所述, g(x) 在 (−π2,+∞) 上的零点个数为2个. 方法二:由已知得 g(x)=ex−2x−cosx , x∈(−π2,+∞) ,则 g′(x)=ex+sinx−2 . ①当 x∈(−π2,0) 时,因为 g′(x)=(ex−1)+(sinx−1)<0 ,所以 g(x) 在 (−π2,0) 单调递增, 所以 g(x)>g(0)=0 ,所以 g(x) 在 (−π2,0) 上无零点; ②当 x∈[0,+∞) 时 g″(x)=ex+cosx>0 ,所以 g′(x) 在 [0,+∞) 单调递增, 又因为 g′(0)=−1<0 , g′(π)=eπ+sinπ−2=eπ−2>0 , 所以 ∃x0∈(0,π) 使 g′(x0)=0 , 当 x∈(0,x0) 时, g′(x)<0 ,当 x∈(x0,+∞) 时, g′(x)>0 所以 g(x) 在 (0,x0) 单调递减, (x0,+∞) 单调递增, 且 g(0)=0 ,所以 g(x0)<0 , 又因为 g(π)=eπ+1−2π>0 ,所以 g(x0)⋅g(π)<0 , 所以 g(x) 在 (x0,+∞) 上存在唯一零点, 所以 g(x) 在 [0,+∞) 上存在两个零点, 综上所述, g(x) 在 (−π2,+∞) 上的零点个数为2个.

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