题目

已知函数 （其中 是实数）. （1） 若 ，求曲线 在 处的切线方程； （2） 求函数 的单调区间； （3） 设 ，若函数 的两个极值点 恰为函数 的两个零点，且 的范围是 ，求实数 的取值范围. 答案： 解：由 a=12 得： f(x)=1x−x+lnx 则 f′(x)=−1x2−1+1x ，所以 f′(1)=−1 ，又 f(1)=0 . 所以曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为y=-x+1. 解：因为 f(x)=1x−x+2alnx ，所以 f(x) 定义域为 (0,+∞) f′(x)=−1x2−1+2ax=x2−2ax+1x2   若 a≤1 ，则 f′(x)≤0 ，当且仅当 a=1,x=1 时， f′(x)=0 若 a>1 ， f′(x)=0 得 x1=a−a2−1,x2=a+a2−1 当 x∈(0,x1)∪(x2,+∞) 时， f′(x)<0 当 x∈(x1,x2) 时， f′(x)>0 所以，当 a≤1 时， f(x) 的单调递减区间为 (0,+∞) ，无单调递增区间； a>1 时， f(x) 的单调递减区间为 (0,a−a2−1),(a+a2−1,+∞) ；单调递增区间为 (a−a2−1,a+a2−1) . 解：由（2）知，若 f(x) 有两个极值点，则 a>1 ，且 x1+x2=2a,x1x2=1 所以 0<x1<1<x2 g(x)=lnx−bx−cx2⇒g′(x)=1x−b−2cx ， g′(x1+x22)=2x1+x2−b−c(x1+x2) 由 g(x1)=g(x2)=0 得 lnx1x2=b(x1−x2)+c(x12−x22) . y=(x1−x2)g′(x1+x22)=2(x1−x2)x1+x2−b(x1−x2)−c(x12−x22) =2(x1−x2)x1+x2−lnx1x2=2(x1x2−1)x1x2+1−lnx1x2 令 x1x2=t∈(0,1) ， h(t)=2(t−1)t+1−lnt h′(t)=−(t−1)2t(t+1)2<0 ，所以 h(t) 在（0,1）上单调递减 由 y=(x1−x2)g′(x1+x22) 的范围是 [ln2−23,+∞) 得 t 的取值范围 (0,12] . 又 x1+x2=2a,x1x2=1 ， (2a)2=(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2⇒4a2=x1x2+x1x2+2 4a2=x1x2+x1x2+2=t+1t+2∈[92,+∞) ，又 a>1 ， 故实数 a 的取值范围 [324,+∞) .

查看本题答案和解析