题目

已知椭圆 的离心率为 ，并且经过 点． （1） 求椭圆 的方程； （2） 设过点 的直线与 轴交于 点，与椭圆的另一个交点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ，求证： 为定值． 答案： 解：由已知 {3b2=1ca=12 解得 {a=2b=3 所以椭圆 C ： x24+y23=1 ． 解：已知斜率存在 以下给出证明： 由题意，设直线 PB 的方程为 y=kx+3(k≠0) ， P(0,3) ，  B(x1,y1) ，则 B′(x1,−y1) ，由 {3x2+4y2=12,y=kx+3, 得 (3+4k2)x2+8k3x=0 ， 所以 Δ=(8k3)2>0 ， x1+0=−8k33+4k2 ， x1=−8k33+4k2 ， y1=−8k33+4k2+3 ， 所以 B(−8k33+4k2,−8k33+4k2+3) ，即 B(−8k33+4k2,-43k2+333+4k2) ， 直线 PB′ 的方程为 y−43k2−333+4k2=34k(x−−8k33+4k2) ， 令 y=0 得 x=(−43k2−33)4k3(3+4k2) 所以 M((−43k2−33)4k3(3+4k2)，0) ， 令 y=0 由 y=kx+3 得 x=−3k 所以 N(−3k，0) ， 所以 |OM|⋅|ON| = |(−43k2−33)4k3(3+4k2)|⋅|−3k|=4 .

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