题目

如图，已知抛物线 ， 直线l过点与抛物线交于A、B两点，且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线分别交抛物线C、直线l于M、N两点．直线l与曲线交于C、D两点． （1） 求证：点N是中点； （2） 设的面积分别为 ， 求的取值范围． 答案： 证明：因为点T(0，t)(t>0)的直线l过与抛物线C：x2=4y交于A、B两点，所以直线的斜率存在，可设l：y=kx+t.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则{x2=4yy=kx+t，消去y可得：x2−4kx−4t=0，所以x1+x2=4k，x1x2=−4t.对抛物线C：x2=4y可化为y=14x2，求导得：y=12x，所以以A(x1，y1)为切点的切线方程为y−y1=12x1(x−x1)，整理得：y=12x1x−14x12.同理可求：以B(x2，y2)为切点的切线方程为y=12x2x−14x22.两条切线方程联立解得：xP=2k，yP=−t，所以P(2k，−t).过点P且垂直于x轴的直线l′为：x=2k，所以xN=2k.所以xN=x1+x22，即点N是AB中点. 解：设θ=∠DNP.因为点D到MN的距离为|DN|sinθ，所以S△DMN=12|MN|⋅|DN|sinθ.因为点B到MN的距离为|BN|sinθ，所以S△PAB=2S△BPN=2×12|NP|⋅|BN|sinθ.所以S1S2=12|MN|⋅|DN|sinθ2×12|NP|⋅|BN|sinθ=|MN|⋅|DN|2|NP|⋅|BN|.由（1）可知：点N是AB中点.同理可证：点N是CD中点.所以S1S2=|MN|⋅|DN|2|NP|⋅|BN|=|MN|⋅12|CD|2|NP|⋅12|AB|=|MN|⋅|CD|2|NP|⋅|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则{x2=4yy=kx+t，消去y可得：x2−4kx−4t=0，所以x1+x2=4k，x1x2=−4t.所以|AB|=(1+k2)(x1−x2)2=4(1+k2)(k2+t).由（1）可知：P(2k，−t)，N(2k，2k2+t)，所以|NP|=2k2+2t.同理可求：|CD|=4(1+k2)(k2+2t)，|MN|=k2+t.所以S1S2=|MN|⋅|CD|2|NP|⋅|AB|=12(k2+t)⋅4(1+k2)(k2+2t)(2k2+2t)⋅4(1+k2)(k2+t)=14k2+2tk2+t=141+1k2t+1因为k2t>0，所以k2t+1>1，所以0<1k2t+1<1，所以1<1+1k2t+1<2，所以1<1+1k2t+1<2，所以14<141+1k2t+1<24.即S1S2的取值范围为(14，24)

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