题目

对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”.如图（1）中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则. （1）如图（1），若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为（1，4）、（-3，0）.求直线的解析式；（2）如图（2），直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、，直线、分别与x轴于点D、E；①求证：直线与直线为“等腰三角线”；②过点D作x轴的垂线，在直线上存在一点F，连结，当时，求出线段的值.（用含n的代数式表示）答案：解：如图1，过点P作x轴的垂线PE，∵直线PQ与直线PR为“等腰三角线”， ∴ ∠PQR=∠PRQ，∵PE⊥QR，∴ QE=ER=1−(−3)=4，∴OR=ER+OE=1+4=5，∴R（5，0），设直线PR的解析式为y=kx+b，∴{4=k+b0=5k+b，解得：{k=−1b=5，∴PR的解析式为y=−x+5；解：①如图2，∵ 直线y=14x与双曲线y=1x交于点A、B，∴ 求得A（2，12）、B（-2，－12），∵C的横坐标n，且在双曲线y=1x的图象上，∴C的坐标为C(n，1n)，∴设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴ {1n=nk+b−12=−2k+b，解得：{k=12nb=2−n2n，∴BC的解析式为y=12nx+2−n2n，∴ 当y=0时，x=n−2，即D（n-2，0），∴设直线AC的解析式为y=ex+f，∴ {12=2e+f1n=ne+f，解得：{e=−12nf=2+n2n，∴AC的解析式为y=−12nx+2+n2n，∴ 当y=0时，x=n+2，即E（n +2，0），过点C作x轴的垂线CM， ∴MD=n−(n−2)=2 ，ME=n+2−n=2，∴MD=ME， ∴CM垂直平分DE，∴DC=EC， ∴∠CDA=∠CED ， ∴直线AC与直线BC为“等腰三角线” ，②设CM交EF于点N，∵直线AC与直线BC为“等腰三角线”， ∴CM平分∠DCE，CM垂直平分DE，∵ DF⊥x轴， ∴ DF∥CM轴，∴∠FDC=∠DCM=∠ECM，∴△DFE∽△MNE，∴MNDF=ENEF=EMED=12，∴DF+EF=2(MN+NE)∵∠EFD=∠DCA，∴∠FDC=∠CEF，∴∠FDC=∠DCM=∠ECM=∠CEF，即∠MCE=∠CEF，∴ CN=NE，∴DF+EF=2(MN+NE)=2(MN+CN)=2CM=2n，即DF+EF=2n.

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