题目

选修4-5：不等式选讲已知函数 ． （1） 求不等式 的解集； （2） 若正数 ， 满足 ，求证： ． 答案： 解：此不等式等价于 {x<−12,−2x−1+(3−x)≤10,  或 {−12≤x≤3,2x+1+(3−x)≤10,  或 {x>3,2x+1+x−3≤10. 解得 −83≤x<−12 或 −12≤x≤3 或 3<x≤4 ．故答案为：不等式的解集为 [−83,4] ． 解：∵ m>0 ， n>0 ， m+2n=mn ，m+2n=12(m⋅2n)≤(m+2n)28 ，即 m+2n≥8 ，当且仅当 {m=2n,m+2n=mn,  即 {m=4,n=2  时取等号．∴ f(m)+f(−2n)=|2m+1|+|−4n+1|   ≥|(2m+1)−(−4n+1)|=|2m+4n|   =2(m+2n)≥16 ，当且仅当 −4n+1≤0 ，即 n≥14 时，取等号．∴ f(m)+f(−2n)≥16 ．

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