题目

如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α°（0°<α<180°）．（1）如图2，若α=26°，则∠BOP=，∠AOM+∠BOQ= ．（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=β° ①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含β的代数式表示） ②△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM，求此时β的值．答案：【1】64°【2】180° ①∵∠MOP=90°，∠POC=β°， ∴∠MOC=90°-β°， ∵OC是∠BOM的角平分线， ∴∠MOB=2∠MOC=180°-2β°， ∴∠BOP=90°-∠MOB=90°-（180°-2β°）=2β°-90°， ∵∠PON=90°， ∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β°-90°+90°=2β°； ②如图，当OB旋转到OP的左侧时， ∵OC是∠BOM的角平分线， ∴∠COB=∠MOC， ∵∠AOC=2∠AOM， ∴∠AOM=∠MOC， ∴∠COB=∠MOC=∠AOM， ∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°， ∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°， ∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-30°=60°， ②如图，当OB旋转到OP的右侧时，设∠AOM=x， ∵∠AOC=2∠AOM=2x， ∴∠MOC=3∠AOM=3x， ∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°， ∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°， ∵OC是∠BOM的角平分线， ∴∠COB=∠MOC=3x， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°， ∴x=18°， ∴∠MOC=3x=54°， ∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-54°=36°，综上，β的值为60°或36°.

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