题目

已知函数 . （Ⅰ）若 为偶函数，求 在 上的值域； （Ⅱ）若 在区间 上是减函数，求 在 上的最大值. 答案：解：（Ⅰ）因为函数 f(x) 为偶函数，故 f(−x)=f(x) ，得 a=1 . f(x)=x2+4 ，因为 −1≤x≤2 ，所以 4≤f(x)≤8 ,故值域为： [4,8] .  （Ⅱ）若 f(x) 在区间 (−∞,2] 上是减函数，则函数对称轴 x=a−1≥2,a≥3 因为 1<a−1<a ，所以 x∈[1,a−1] 时，函数 f(x) 递减， [a−1,a] 时，函数 f(x) 递增，故当 x∈[1,a] 时， f(x)max={f(1),f(a)} ， ∴f(1)=7−2a,f(a)=−a2+2a+4 ，   f(1)−f(a)=(7−2a)−(−a2+2a+4)=a2−4a+3=(a−2)2−1   由于 a≥3,f(1)−f(a)>0,∴f(1)≥f(a) ，故 f(x) 在 [1,a] 上的最大值为 7-2a .

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