题目

已知圆 ： ，直线 过定点 . （1） 若 与圆 相切，求 的方程； （2） 若 与圆 相交于 ， 两点，求三角形 面积的最大值，并求此时 的直线方程. 答案： 解：将圆的一般方程化为标准方程,得 (x−3)2+(y−4)2=4 , ∴圆心 C(3,4) ，半径 r=2 . ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 x=1 ,符合题意． ②若直线 l 斜率存在，设直线 l ： y=k(x−1) ,即 kx−y−k=0 . ∵ l 与圆 C 相切.∴圆心 C(3,4) 到已知直线 l 的距离等于半径2, 即 |3k−4−k|k2+1=2 ,解得 k=34 . ∴综上，所求直线方程为 x=1 或 3x−4y−3=0 ． 解：直线与圆相交,斜率必定存在, 设直线方程为 kx−y−k=0 . 则圆心到直线 l 的距离 d=|2k−4|1+k2 . 又∵ ΔCPQ 面积 S=12⋅d⋅24−d2=4d2−d4 =−(d2−2)2+4 ， ∴当 d=2 时， Smax=2 . 由 d=|2k−4|1+k2=2 ,解得 k=1 或 k=7 . ∴直线方程为 x−y−1=0 或 7x−y−7=0 .

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