题目

已知数列的前n项和为，且满足 . （1）求数列的通项公式. （2）若，数列的前n项和为，证明： . 答案：解：因为 a 1 = 4 ， 2 S n = a n + 1 + 2 n − 4 ，所以令 n = 1 ，得 a 2 = 1 0 ，所以 a 2 − 1 a 1 − 1 = 3 . 又 2 S n = a n + 1 + 2 n − 4 ( n ∈ N ∗ ) ，所以 2 S n − 1 = a n + 2 n − 6 ( n ≥ 2 ) ，两式相减可得 2 a n = a n + 1 − a n + 2 ( n ≥ 2 ) ，即 a n + 1 − 1 = 3 ( a n − 1 ) ( n ≥ 2 ) ，所以 { a n − 1 } 是以 a 1 − 1 = 3 为首项，3为公比的等比数列，所以 a n − 1 = 3 × 3 n − 1 ，即 a n = 3 n + 1 . 解：因为 b n > 0 ，所以 { T n } 为递增数列，则 T n ≥ T 1 = 3 2 . 由（1）知 a n = 3 n + 1 ，所以 b n = 1 + 1 [ log 3 ( a n − 1 ) ] 2 + 1 [ log 3 ( a n + 1 − 1 ) ] 2 = 1 + 1 n 2 + 1 ( n + 1 ) 2 = n 2 ( n + 1 ) 2 + n 2 + ( n + 1 ) 2 n 2 ( n + 1 ) 2 = [ n ( n + 1 ) + 1 ] 2 n 2 ( n + 1 ) 2 = n ( n + 1 ) + 1 n ( n + 1 ) = 1 + 1 n − 1 n + 1 ，所以 T n = ( 1 + 1 − 1 2 ) + ( 1 + 1 2 − 1 3 ) + … + ( 1 + 1 n − 1 n + 1 ) = n + 1 − 1 n + 1 ，从而 T n < n + 1 . 综上可得 3 2 ≤ T n < n + 1 .

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