题目

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．答案：【1】DE= 32 BC 解：BF+BP= 233 DE．理由如下： ∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF， ∴∠PDF=60°，DP=DF，而∠CDB=60°， ∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB， ∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中 {DC=DB∠CDP=∠BDFDP=DF ∴△DCP≌△DBF（SAS）， ∴CP=BF，而CP=BC﹣BP， ∴BF+BP=BC， ∵DE= 32 BC， ∴BC= 233 DE， ∴BF+BP= 233 DE；解：如图，与（2）一样可证明△DCP≌△DBF， ∴CP=BF，而CP=BC+BP， ∴BF﹣BP=BC， ∴BF﹣BP= 233 DE．

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