题目

已知函数 ，其中 （Ⅰ）若 ，且当 时， 总成立，求实数 的取值范围；（Ⅱ）若 ， ， ，若 存在两个极值点 ， ，求证： 答案：解：(Ⅰ) f(x)=exax2+x+1 因为 f(x) 在 [0，+∞) 有意义，所以 a≥0 若 a=0 ，则 f(x)=exx+1 ， f′(x)=xex(x+1)2≥0 ，所以 f(x)min=f(0)=1 若 a>0 ，则 f′(x)=ex[ax2+(1−2a)x](ax2+x+1)2=ex×ax×(x+1−2aa)(ax2+x+1)2 当 0<a≤12 时， f(x)min=f(0)=1当 a≥12 时， f(x) 在 [0，2a−1a] 上为减函数，在 [2a−1a，+∞) 上为增函数， f(x)min<f(0)=1 ，不成立，综上， 0≤a≤12 (Ⅱ)由于 f(x)=exax2+1 ， f′(x)=ex(ax2−2ax+1)(ax2+1)2 ，因为 f(x) 有两个极值点，所以 4a2−4a>0 ，因此 a>1 令 f′(x)=0 ，因此极值点 x1 ， x2 为方程 ax2−2ax+1=0 的两个根，又f(x1)=ex1ax12+1 ， f(x2)=ex2ax22+1注意到 axi2−2axi+1=0 ， i=1，2 ， f(x1)=ex12ax1 ， f(x2)=ex22ax2 ， x1+x2=2，x1x2=1a 所以 f(x1)+f(x2)=12a(ex1x1+ex2x2)=12(x2ex1+x1ex2)注意到 12(x2ex1+x1ex2)>e1a ，因此 f(x1)+f(x2)>e1a又 12(x2ex1+x1ex2)<(x1+x2)(ex1+ex2)4<e2+12 ，因此 e1a<f(x1)+f(x2)<e2+12 .

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