题目

已知 ， 为 内部的一条射线， . （1） 如图1，若 平分 ， 为 内部的一条射线， ，求 的度数； （2） 如图2，若射线 绕着 点从 开始以每秒 的速度顺时针旋转至 结束、 绕着 点从 开始以每秒 的速度逆时针旋转至 结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为 秒，当 时，求 的值； （3） 若射线 绕着 点从 开始以每秒 的速度逆时针旋转至 结束，在旋转过程中， 平分 ，试问 在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及 相应所在的时间段.（本题中的角均为大于 且小于 的角） 答案： ∵OE 平分 ∠AOB ， ∠AOB=150° ∴∠BOE=12∠AOB=75° ∵∠BOC=60°,∠COD=12∠BOD ∴∠BOD=23∠BOC=40° ∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=75°−40°=35° ； ∵∠AOB=150°,∠BOC=60° ∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=90° 由题意知，当OE转到OB时，两条射线均停止运动 此时 t=∠AOB15°=150°15°=10 （秒） 则OF停止转动时， ∠BOF=5°t=50°<60° 即OF从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当OE在OC左侧时， {∠EOC=∠AOC−∠AOE=90°−15°t∠FOC=∠BOC−∠BOF=60°−5°t 则由 ∠EOC=∠FOC 得 90°−15°t=60°−5°t ，解得 t=3 ②当OE在OC右侧时， {∠EOC=∠AOE−∠AOC=15°t−90°∠FOC=∠BOC−∠BOF=60°−5°t 则由 ∠EOC=∠FOC 得 15°t−90°=60°−5°t ，解得 t=7.5 综上，t的值为3或7.5； 射线OM从开始转动至OB结束时，转动时间为 t=360°−150°15°=14 （秒） 由题意，分OM与OB在一条直线上（ t=180°−150°15°=2 ）、ON与OB在一条直线上（ t=2×(180°−150°)15°=4 ）、OM与OA在一条直线上（ t=180°15°=12 ）三个临界位置 ①当 0≤t≤2 时，如图1所示 此时， {∠BON=∠AOB+∠AON=150°+12∠AOM=150°+15°t2∠BOM=∠AOB+∠AOM=150°+15°t 则 2∠BON−∠BOM=2×(150°+15°t2)−(150°+15°t)=150° 为定值 ②当 2<t<4 时，如图2所示 此时， {∠BON=∠AOB+∠AON=150°+12∠AOM=150°+15°t2∠BOM=360°−(∠AOB+∠AOM)=360°−(150°+15°t)=210°−15°t 则 2∠BON−∠BOM=2×(150°+15°t2)−(210°−15°t)=90°+30°t 不为定值 ③当 4≤t≤12 时，如图3所示 此时， {∠BON=360°−(∠AOB+∠AON)=360°−(150°+15°t2)=210°−15°t2∠BOM=360°−(∠AOB+∠AOM)=360°−(150°+15°t)=210°−15°t 则 2∠BON−∠BOM=2×(210°−15°t2)−(210°−15°t)=210° 为定值 ④当 12<t<14 时，如图4所示 此时， {∠BON=∠AOB−12∠AOM=150°−360°−15°t2=15°t2−30°∠BOM=360°−(∠AOB+∠AOM)=360°−(150°+15°t)=210°−15°t 则 2∠BON−∠BOM=2×(15°t2−30°)−(210°−15°t)=30°t−270° 不为定值 综上，当 0≤t≤2 或 4≤t≤12 时， 2∠BON−∠BOM 为定值.

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