题目

已知函数 （其中 ），且 . （1） 求 的值，并求 在 上的值域； （2） 若 在 上有且只有一个零点， ，求 的取值范围. 答案： 解： f(0)=a=3 ， 所以 f(x)=−23sin2x+2sinxcosx+3=−23×1−cos2x2+sin2x+3 =3cos2x+sin2x=2sin(2x+π3) ， 当 x∈[−π4,π4] 时， −π6⩽2x+π3⩽5π6 ， −12⩽sin(2x+π3)⩽1 ， 所以 f(x) 的值域为 [−1,2] . 解： f(ωx)=2sin(2ωx+π3) ， 当 x∈[0,π] 时， π3⩽2ωx+π3⩽2ωπ+π3 ， 要使函数有且只有一个零点，则 π⩽2ω⋅π+π3<2π ， 解得 13⩽ω<56 .

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