题目

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE． （1） 求证：AF=DE； （2） 若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长． 答案： 证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∴∠BAD=∠CDA，而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，∴△AED≌△DFA（SAS），∴AF=DE 解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK， ∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°，∴AB= 2 BH= 2 AH，同理：CD= 2 CK= 2 KD，∵S梯形ABCD= (AD+BC)⋅HB2 ，AB=a，∴S梯形ABCD= (2a2×2+2BC)⋅2a22 = a2+2aBC2 ，而S△ABE=S△DCF= 34 a2，∴ a2+2aBC2 =2× 34 a2，∴BC= 6−22 a．

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