题目

已知函数 . （1） 讨论 的单调性； （2） 当0<a<3时，记 在区间[0，1]的最大值为M ， 最小值为m ， 求 的取值范围. 答案： 解： f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a) ． 令 f′(x)=0 ，得x=0或 x=a3 . 若a>0，则当 x∈(−∞,0)∪(a3,+∞) 时， f′(x)>0 ；当 x∈(0,a3) 时， f′(x)<0 ．故 f(x) 在 (−∞,0),(a3,+∞) 单调递增，在 (0,a3) 单调递减； 若a=0， f(x) 在 (−∞,+∞) 单调递增； 若a<0，则当 x∈(−∞,a3)∪(0,+∞) 时， f′(x)>0 ；当 x∈(a3,0) 时， f′(x)<0 ．故 f(x) 在 (−∞,a3),(0,+∞) 单调递增，在 (a3,0) 单调递减. 当 0<a<3 时，由（1）知， f(x) 在 (0,a3) 单调递减，在 (a3,1) 单调递增，所以 f(x) 在[0,1]的最小值为 f(a3)=−a327+2 ，最大值为 f(0)=2 或 f(1)=4−a .于是 m=−a327+2 ， M={4−a,0<a<2,2,2≤a<3. 所以 M−m={2−a+a327,0<a<2,a327,2≤a<3. 当 0<a<2 时，可知 2−a+a327 单调递减，所以 M−m 的取值范围是 (827,2) . 当 2≤a<3 时， a327 单调递减，所以 M−m 的取值范围是 [827,1) . 综上， M−m 的取值范围是 [827,2) .

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