题目

如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F． （1） 当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）； （2） 当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明． 答案： 解：由折叠可得AB=AB′，BE=B′E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB′E=45°，∴B′E=B′F，∴AF=AB′+B′F，即DF+BE=AF； 解：图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∵∠BAM=∠FAD，AF=AM∵△ABE≌A′BE∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAB，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．

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