题目

已知函数 （1） 若f（x）在[1，e]上的最小值为 ，求a的值； （2） 若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围． 答案： 解：f′（x）= 1x + ax2 = x+ax2 令f′（x）＜0得x＜﹣a，令f′（x）＞0，得x＞﹣a， ①﹣a≤1，即a≥﹣1时，f（x）在[1，e]上单增，f（x）最小值=f（1）=﹣a= 32 ，a=﹣ 32 ＜﹣1，不符，舍；②﹣a≥e，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上单减，f（x）最小值=f（e）=1﹣ ae = 32 ，a=﹣ e2 ＞﹣e，不符，舍；③1＜﹣a＜e，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上单减，在[﹣a，e]上单增，f（x）最小值=f（﹣a）=ln（﹣a）+1= 32 ，a=﹣ e12 ，满足；综上a=﹣ e12 ． 解：由题意，只需a＞xlnx﹣x3，x∈（1，+∞）恒成立， 令h（x）=xlnx﹣x3，h'（x）=lnx+1﹣3x2，h''（x）= 1x ﹣6x= 1−6x2x ＜0 在（1，+∞）上恒成立，∴h'（x）在（1，+∞）上单减，又h'（1）=﹣2＜0，∴h'（x）＜0 在（1，+∞）上恒成立，h（x）在（1，+∞）上单减，又h（1）=﹣1，∴h（x）＜﹣1在（1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣1

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