题目

已知函数 ． （1） 时，求 的极值； （2） 若 ，求 的取值范围． 答案： a=e 时， f(x)=ex−elnx ， x>0 ，则 f′(x)=ex−ex ， 可知 f′(x) 为 (0，+∞) 的增函数，且 f′(1)=0 ， 当 0<x<1 ， f′(x)<0 ， f(x) 单调递减；当 x>1 ， f′(x)>0 ， f(x) 单调递增， 所以 x=1 时， f(x) 取得极小值 f(1)=e ，无极大值． 由题知 x>0 ， a>0 ， f′(x)=ex−ax ， 可知 f′(x) 在区间 (0，+∞) 上单调递增， 且当 x→0 时， f′(x)<0 ，当 x→+∞ 时， f′(x)>0 ， 所以，存在 x0∈(0，+∞) ，使得 f′(x0)=0 ，即 ex0=ax0 ， 当 x∈(0，x0) 时， f′(x)<0 ， f(x) 在 (0，x0) 上单调递减； 当 x∈(x0，+∞) 时， f′(x)>0 ， f(x) 在 (x0，+∞) 上单调递增， 所以， f(x)min=f(x0)=ex0−alnx0=ax0−alnx0≥alna ， 即 1x0−lnx0−lna≥0 ，由 ex0=ax0 ，得 a=x0ex0 ，即 lna=lnx0+x0 ， 所以 1x0−lnx0−lnx0−x0≥0 ，即 2lnx0+x0−1x0≤0 ， 由于 u(x)=2lnx+x−1x 为 (0，+∞) 的单调递增函数，且 u(1)=0 ， 则有 0<x0≤1 ， 因为 v(x)=xex ， v′(x)=(x+1)ex ，所以 v(x)=xex 为 (0，1] 上的增函数，则当 x∈(0，1] 时， v(x)∈(0，e] ， 所以 a 的取值范围为 (0，e] ．

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