题目

在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M： =1（a＞b＞0）上，若点A（﹣a，0），B（0， ），且 = ． （1） 求椭圆M的离心率； （2） 设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合． ①若点P（﹣3，0），直线l过点（0，﹣ ），求直线l的方程；②若直线l过点（0，﹣1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围． 答案： 解：设C（m，n），由 AB→ = 32 BC→ ， 可得（a， 13 a）= 32 （m，n﹣ a3 ），可得m= 23 a，n= 59 a，即C（ 23 a， 59 a），即有 49 + 25a281b2 =1，即为b2= 59 a2，c2=a2﹣b2= 49 a2，则e= ca = 23 解：①由题意可得c=2，a=3，b= 9−4 = 5 ， 即有椭圆方程为 x29+y25 =1，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程可得（5+9k2）x2+54k2x+81k2﹣45=0，x1+x2=﹣ 54k25+9k2 ，PQ的中点H为（﹣ 27k25+9k2 ， 15k5+9k2 ），由题意可得直线l的斜率为 15k5+9k2+67−27k25+9k2 =﹣ 1k ，解得k=1或 59 ，即有直线l的方程为y=﹣x﹣ 67 或y=﹣ 95 x﹣ 67 ；②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，（5+9k2）x2+18kmx+9m2﹣45=0，可得x1+x2=﹣ 18km5+9k2 ，即有PQ的中点为（﹣ 9km5+9k2 ， 5m5+9k2 ），由题意可得直线l的斜率为 5m5+9k2+1−9km5+9k2 =﹣ 1k ，化简可得4m=5+9k2，中点坐标即为（﹣ 9k4 ， 54 ），由中点在椭圆内，可得 9k216 + 516 ＜1，解得﹣ 113 ＜k＜ 113 ，由直线l的方程为y=﹣ 1k x﹣1，可得D的横坐标为﹣k，可得范围是（﹣ 113 ，0）∪（0， 113 ）．

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