题目

已知全集U=R，非空集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣a2﹣2）＜0}．（1）当a=时，求（∁UB∩A）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 答案：解：（1）当a=12时，对于集合A：（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0，即（x﹣2）（x﹣52）＜0，解得2＜x＜52，所以A=（2，52），对于集合B，（x﹣94）（x﹣12）＜0，解得，12＜x＜94，所以B=（12，94），所以CUB=（﹣∞，12]∪[94，+∞），所以（CUB）∩A=[94，52）；（2）由q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．由a2+2＞a，得 B={x|a＜x＜a2+2}．①当3a+1＞2，即a＞13时，A={x|2＜x＜3a+1}，再由 a≤2a2+2≥3a+1，解得：13＜a≤3-52．②当3a+1=2，即a=13时，A=∅，不符合题意；③当3a+1＜2，即a＜13时，A={x|3a+1＜x＜2}，再由a≤3a+1a2+2≥2，解得：﹣12＜a＜13；综上所述a的取值范围为（﹣12，13）∪（13，3-52]．

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