题目

已知关于 的函数 （1） 讨论 的单调性； （2） 证明：当 时， 答案： 解：由 f(x)=ax−lnx−(1+ln2) 得 f′(x)=a−1x(x>0) 知当 a≤0 时 f′(x)<0⇒f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减 当 a>0 时， f′(x)=ax−1x=a(x−1a)x ∴ 当 x>1a 时 f′(x)>0,f(x) 在 (1a,+∞) 上单调递增， 当 0<x<1a 时 f′(x)<0,f(x) 在 (0,1a) 上单调递减. 证明：由（1）知 a=2 时 f(x) 在 (0,12) 上单调递减，在 (12,+∞) 上单调递增， f(x)≥f(12)=0 ，即有 lnx≤2x−1−ln2(x>0) ， ∴ln1<2−1−ln2=1−ln2 ， ln2<4−1−ln2=3−ln2 ln3<6−1−ln2=5−ln2 … lnn<2n−1−ln2 以上各式相加得 :ln1+ln2+ln3+⋯⋯+lnn<(1+3+5+⋯+(2n−1))−nln2 ， ln(1×2×3×⋯×n)<n2−nln2.

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