题目

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）． （Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；      （Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣A的正切值；（Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为 ． 答案：解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面AC，∴PA⊥BC， ∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0， 3 ），C（ 32 ， 12 ，0），D（ 32 ，﹣ 12 ，0）∴ AP→ =（0，0， 3 ）， AC→ =（ 32，12 ，0）， PD→=(32，−12，−3) ， PC→=(32，12，−3) ，设平面PAC的一个法向量 n1→=(x1，y1，z1) ，则 AP→⋅n1→=0，AC→⋅n2→=0 ，∴ {3z1=032x1+12y1=0 ，∴ n1→=(3，−3，0) ．设平面PDC的一个法向量 n2→=(x2，y2，z2) ，则 PC→⋅n2→=0 ， PD→⋅n2→=0 ，∴ {32x2+12y2−3z2=032x2−12y2−3z2=0 ，∴ n2→=(2，0，1) ，设二面角D﹣PC﹣A的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜ n1→⋅n2→ ＞|=| n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→| |=| 2312⋅5 |= 55 ，故二面角D﹣PC﹣A的正切值为2．（Ⅲ）设M（x，y，z）， PM→=mPD→ ，则（x，y，z﹣ 3 ）=m（ (32，−12，−3) ），解得点M（ (32m，−12m，3−3m) ），即 AM→ =（ (32m，−12m，3−3m) ），由sinθ= 35⋅m2+3(1−m)2=155 ，得m=1（不合题意舍去）或m= 12 ，所以当M为PD的中点时，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为 155 ．

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