题目

已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8． （1） 求椭圆C的方程； （2） 如图，斜率为 的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P（2，1）在直线l的上方，若∠APB=90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度． 答案： 解：由椭圆的离心率e= ca = 1−b2a2 = 32 ，则a2=4b2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8，则2× 12 ×2a×b=8，则ab=4，解得：a=2 2 ，b= 2 ，则椭圆的标准方程为： x28+y22=1 ； 解：设直线l的方程y= 12 x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则 {y=12x+mx28+y22=1 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0，△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得：﹣2＜m＜2，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，则kPA= y1−1x1−2 ，kPB= y2−1x2−2 ，则 kPA+kPB= y1−1x1−2 + y2−1x2−2 = (y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2)(x1−2)(x2−2) ，则（ 12 x1+m﹣1）（x2﹣2）+（ 12 x2+m﹣1）（x1﹣2），=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1），=2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0，∴kPA+kPB=0，由∠APB=90°，则kPA=1，kPB=﹣1，则△PMN是等腰直角三角形，则MN=2xP=4，线段MN的长度4．

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