题目

定义在上的函数满足： ， ， 当时，. （1） 求的值； （2） 判断并证明函数的单调性： （3） 若 ， ， 求实数a的取值范围. 答案： 解：f(1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0 解：f(x)在定义域(0，+∞)上单调递增，证明如下：设任意x1，x2∈(0，+∞)，x1>x2∵f(x1)=f(x2⋅x1x2)=f(x2)+f(x1x2)∴f(x1)−f(x2)=f(x1x2)∵x1>x2>0，∴x1x2>1∴f(x1x2)>0，即f(x1)−f(x2)>0∴f(x1)>f(x2).故f(x)在定义域(0，+∞)上单调递增， 解：∵2=1+1=f(2)+f(2)=f(2×2)=f(4)∴f(cos2x−acosx+6)≥2=f(4)由（2）知f(x)在定义域(0，+∞)上单调递增，故“∀x∈R，f(cos2x−acosx+6)≥2”等价于{cos2x−acosx+6≥4cos2x−acosx+6>0对∀x∈R恒成立.即2cos2x−acosx+1≥0对∀x∈R恒成立.令t=cosx，x∈R，即2t2−at+1≥0对t∈[−1，1]恒成立.令g(t)=2t2−at+1，t∈[−1，1].∴原问题等价于g(t)min≥0.①当−1≤a4≤1，即−4≤a≤4时，由g(t)min=g(a4)≥0，解得−22≤a≤22，又−4≤a≤4，故−22≤a≤22；②当a4<−1或a4>1，即a<−4或a>4时，由g(t)min=min{g(−1)，g(1)}≥0，即{g(−1)≥0g(1)≥0，解得−3≤a≤3，又a<−4或a>4，故a∈∅.综上，−22≤a≤22.

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