题目

已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C. （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标. 答案：解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0）， ∴ {0=a−b+6 ，0=36a+6b+6 ，解得a＝－1，b＝5， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6. ∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x −52 )2＋ 494 ， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（ 52 ， 494 ）解：由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6， ∴C（0，6），∴OC＝6. ∵A（6，0）， ∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°. ∵PD平行于x轴，PE平行于y轴， ∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°， ∴∠PED＝45°， ∴∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE， ∴PD＋PE＝2PE， ∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值. 设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，把A（6，0），C（0，6）代入得 {0=6k+d ，6=d ，解得k＝－1，d＝6， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋6. 设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6）， ∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9. ∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12， ∴P（3，12）. 解：如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF. ∵点F在线段MN的垂直平分线AC上， ∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC. ∵l∥y轴， ∴∠MFC＝∠OCA＝45°， ∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°， ∴NF∥x轴. 由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，当x＝ 52 时，y＝ 72 ， ∴F（ 52 ， 72 ）， ∴点N的纵坐标为 72 . ∵点N在抛物线上， ∴－x2＋5x＋6＝ 72 ，解得，x1＝ 5+352 或x2＝ 5−352 ， ∴点N的坐标为（ 5+352 ， 72 ）或（ 5−352 ， 72 ）.

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