题目

设函数 f （x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）． （1） 若a=﹣3，求函数 f （x）的最小值； （2） 如果∀x∈R，f （x）≤2a+2|x﹣1|，求a的取值范围． 答案： 解：a=﹣3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|， ∵f（x）=|x﹣1|+|x+3|=|1﹣x|+|x+3|≥|（1﹣x）+（x+3）|=4，当且仅当（1﹣x）（x+3）≥0即﹣3≤x≤1时，“=”成立，∴函数f（x）的最小值是4； 解：∀x∈R，f（x）≤2a+2|x﹣1|， 可化为|x﹣a|﹣|x﹣1|≤2a，又|x﹣a|﹣|x﹣1|≤|（x﹣a）﹣（x﹣1）|=|1﹣a|，当且仅当x=1时“=”成立，从而|1﹣a|≤2a，即﹣2a≤1﹣a≤2a，解得：a≥ 13 ，故a的范围是[ 13 ，+∞）．

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