题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动． （1） 当∠OAD＝30°时，求点C的坐标； （2） 设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为 时，求OA的长； （3） 当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值． 答案： 解：如图1，过点C作CE⊥y轴于点E， ∵矩形ABCD中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°， ∴在Rt△CED中，CE＝ 12 CD＝2，DE＝ CD2−CE2 ＝2 3 ， 在Rt△OAD中，∠OAD＝30°， ∴OD＝ 12 AD＝3， ∴点C的坐标为(2，3+2 3 ) 解：∵M为AD的中点， ∴DM＝3，S△DCM＝6， 又S四边形OMCD＝ 212 ， ∴S△ODM＝ 92 ， ∴S△OAD＝9， 设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36， 12 xy＝9， ∴x2+y2＝2xy，即x＝y， 将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18， 解得x＝3 2 (负值舍去)， ∴OA＝3 2 解：OC的最大值为8， 如图2，M为AD的中点， ∴OM＝3，CM＝ CD2+DM2 ＝5， ∴OC≤OM+CM＝8， 当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8， 连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N， ∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN， ∴ CDON=DMMN=CMOM ，即 4ON=3MN=53 ， 解得MN＝ 95 ，ON＝ 125 ， ∴AN＝AM﹣MN＝ 65 ， 在Rt△OAN中，OA＝ ON2+AN2=655 ， ∴cos∠OAD＝ ANOA=55

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