题目

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （1） 证明：MN∥平面PAB； （2） 求点M到平面PBC的距离． 答案： 证明：设PB的中点为Q，连接AQ，NQ； ∵N为PC的中点，Q为PB的中点，∴QN∥BC且QN= 12 BC=2，又∵AM=2MD，AD=3，∴AM= 23 AD=2 且AM∥BC，∴QN∥AM且QN=AM，∴四边形AMNQ为平行四边形，∴MN∥AQ．又∵AQ⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB； 解：在Rt△PAB，Rt△PAC中，PA=4，AB=AC=3， ∴PB=PC=5，又BC=4，取BC中点E，连接PE，则PE⊥BC，且PE= PB2−BE2 = 21 ，∴S△PBC= 12 ×BC×PE= 12 ×4× 21 =2 21 ．设点M到平面PBC的距离为h，则VM﹣PBC= 13 ×S△PBC×h= 2213 h．又VM﹣PBC=VP﹣MBC=VP﹣DBC 13 ×S△ABC×PA= 13 × 12 ×4× 5 ×4= 853 ，即 2213 h= 853 ，得h= 410521 ．∴点M到平面PBC的距离为为 410521 ．

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